建模分析粘合液流超出纳维-斯托克斯方程

Navier-Stokes方程对科学和工程很重要,因为它们描述流体运动.举例说,它们用来模拟动脉内流血、洋流和飞机周围空气动态世纪前理论物理家和数学家提高使用Navier-Stokes方程.与其将这些偏差方程看成两组变量之间的复杂映射,不如开始视其解决方案为适量无限空间的点Jean Leray在其1934年里程碑论文中仔细关注数学方法与问题物理基础之间的联系,开发出强健数学框架分析Navier-Stokes方程解决方案Navier-Stokes方程无法描述液体响应复杂微结构以Leray工作的精神米哈尔巴托里Miroslav Bulček和Josef Málek,捷克共和国Charles大学,现已开发出坚固的粘结液数学理论精确判定数学对象可计算法近似它们的理论可作为一个分析框架,量化这些模型精确和计算解决方案之间的错误

自十九世纪上半叶以来,纳维-斯托克斯方程成功用于描述标准条件下水或油等简单流体流预测容器内纳维尔-斯托克斯流水流(从花园水管中想水)时,我们还需要知道流水初始状态及其边界行为(从水与花园水管内层交互作用中想水)。if we have all these信息片段(即大数方程、边界方程和初始条件),我们可以为速度和压力找到清晰公式并清晰解决Navier-Stokes方程,但只能在特殊几何设置和受限可允许流类型下解决获取容器流特征信息的唯一其他方式是进行实验(但在特定几何重做实验)或使用科学计算法和工具

后一方法如今使用得越来越多,因为它要灵活得多(改变几何参数和模型参数),基数方法正变得越来越高效,计算软件硬件允许研究人员计算复杂几何中依赖时间的纳维尔-斯托克斯方程三维流

纳维尔-斯托克斯方程无法描述水和油等流体在极端机制中的特征或描述许多流体和流体类材料的行为举止

问题在于解决方案的确切意义(定义)是什么? 我们正在试图估计使用这些先进计算法

科学计算二战前尚处于萌芽阶段, 理论物理家Carl Wilhelm Oseen和数学家Jean Leray提出问题:我们能证明纳维-斯托克斯方程有解决办法吗? 与初始时任意设定速度状态相对应赖成功回答这个问题

关注数学方法与问题物理基础之间的联系时,他引入了反映可用强能信息的解决办法概念,证明它存在速度的任何初始状态并带电动能,并调查其进一步的定性性能

不可压缩 Navier-Stokes方程表示系统d+1非线性局部方程速度和算量量(即压力),因为流体假设不可压缩(在任何可接受运动中保留装满流体容器分量)。除不压缩约束值(速度场偏差为零)外,剩余方程取线性动量平衡值,即实应力反向部分(称为Cauchy应力)和速度梯度对称部分相联Navier-Stokes方程非线性即四面形和几何性质是惯性词

超出纳维-斯托克斯方程

纳维尔-斯托克斯方程无法充分描述水和油等流体在极端机制中的特征或描述许多流体和流体类材料的行为举止这是因为各种现象和反直觉观察无法被剪切机与剪切率之间的线性关系所捕捉,而剪切率即纳维尔-Stokes流方程特征关系

非牛顿流体是流体类材料,Navier-Stokes方程无法描述非牛顿现象可分为两组第一类特征为剪切器与剪切率之间的非线性关系,包括与激活标准的存在相关联的剪切率本组包括电法流体及其各种泛泛化词Bingham、Herschel-Bullkley或激活欧拉流体,这些流体大都成功覆盖在隐式构方程框架内,这些方程与Cauchy压力相关(无微量部分)和速度梯度相关(剖析剪率)。

第二组非牛顿特征中包括与粘合液相联的迷人现象,例如单剪流中存在正常压力差异、松压、非线性爬虫、剪裁和多姿带宽两组流体的支配方程比纳维埃-斯托克斯方程复杂得多,包括附加未知数(Cauchy压力的一部分)、附加求解方程(I组代数演化第二组)和附加非线性条件其中包括数以百计的模型由工程师和物理家设计描述各种聚合物或地理生物材料行为,如冰川、地壳、沥青绑定器、创新液、奶油、油漆和凝胶、眼膜、血液或食品如番茄酱、蜂蜜和蛋黄

从数学角度和以上线程出发,自然和基本的问题是,我们是否能够为属于这些群体的模型建立Leray程序意义上的数学基础。MichalBathory及其导师集中开发属于第二组的模型类的理论,即透缩率型流体模型,并分容压力传播

脉冲速率型流体与应力扩散和Leray程序

粘率流体模型扩散压力超过30年他们能准确描述非牛顿现象多半,并由于压力扩散的存在,从数学和物理角度都具有吸引力。从物理角度讲,压力扩散系数的存在与剪裁或园艺带的适当有限厚度相关联。从数学角度讲 优线性扩散运算符(Laplacian)在Cauchy压力部分治理方程中的存在应大有帮助分析

趣味地说,尽管各种数学集团作出了努力,但莱拉理论并不存在此外,对于Cauchy压力部分的客观时间衍生物的正确选择存在模棱两可之处。此外,这些衍生物包括额外非线性术语,这些术语以基本方式使分析复杂化MichalBathory和他的同事如何克服这些困难?

建立这一结果的基本点是详细理解流体模型使用连续热动工具的衍生

有三个关键成份第一,研究基础是多论文泛热动方法,该方法能够从两种信息知识中判定Cauchy压力组成方程,即材料存储能和需要一方程为两个标量指定方程已知热动学提供剩余信息量和进化这种方法还有另一个好处,但现在在数学方面这两件信息对完全热动开发至关重要,这也决定了Leray程序应执行的功能空间。有了这种理解后,第二构件进场Bathory和同事修改机制,材料储存能量的方式使它无法与标准模型相区别,只要弹性响应小但它为大型弹性响应提供新信息,提高Cauchy压力弹性部分的数学素质第三个成份是一种新颖方法,在分析数非线性PDE时保证数量确定为正数这个问题与开发合适的近似系统相关联,即方程中非线性词消失,如果Cauchy压力弹性部分的频谱达零

有了这三个成分,Bathory和同僚开发出强健数学理论,用压力扩散反静流粘率型流理论覆盖弹性阵列客观时间衍生物的任何选择并和Leray对Navier-Stokes方程理论相同类型,尽管Bathory等处理系统复杂得多。速度和弹性部分Cauchy应力归同功能空间建立这一结果的基本点是详细理解流体模型使用连续热动工具的衍生没有它,人们就会感觉失明森林中, 包括数组粘合模型 在不同区域使用 不同环境开发 并基于不同基础开发总体证明具有建设性并先从适当的有限维近似开始正因如此,它可提供数值分析器,作为分析适当离散有限元素组合的基本工具,并估计和保证解决方案与由精心设计数字求解器计算求解法之间的误差新设计模型类(无论如何接近小型弹性响应标准模型类)目前正在计算模拟中测试