多面体结构的开普勒窝在不同的对称群

山东大学的孙迪教授和加州大学洛杉矶分校的斯坦·沙因教授正在进行的研究将两个研究方向结合起来。首先，他们合成了Ag_90.这是一个开普勒式巢，有一个二十面体和两个八面体外壳。在第二种情况下，他们意识到嵌套使共享旋转轴的数量最大化，这正是已故数学家约翰·康威(John Conway)如何使用Zometool来解释如何最优地嵌套不同对称群的多面体。事实上，康威已经解决了约翰内斯·开普勒的太阳系模型所隐含的一个问题。

到几何学家，多面体（复数多面体）是具有平坦的多边形面的三维形状。面在称为边缘线段满足，并且边缘的点称为顶点满足。这个词来自希腊语“聚”（很多）和印欧语系的“面体”（面）的。通常高度对称，多面体有很大的审美情趣，以及它们的共同点是化学，生物，数学等学科。

迪孙，山东大学教授，斯坦··塞德（Stan Schein）加利福尼亚州UCLA学院教授，​​他们的合作者对嵌套的Polyhedra特别感兴趣。他们最近的调查联合了两条研究流。首先，它们合成并表征巢（AG_90.)的三个多面壳在不同的对称群。其次，他们将这个问题与已故数学家约翰·康威(John Conway)解决的一个问题联系起来。康威使用Zometool解决了开普勒太阳系模型中隐含的一个类似问题。

背后的故事
这项研究始于美国产品设计师、作家和发明家彼得·乔恩·皮尔斯(Peter Jon Pearce)。1966年，他花了一年的时间与巴克明斯特·富勒合作，这位著名的发明家和梦想家，为富勒的书，协同措施(1975)。皮尔斯自己的工作专注于高性能的可持续设计，他后来在著名的生物圈2号的设计中证明了这一点，这是一个美国地球系统科学研究设施。

不幸的是，康威既不说也不写任何关于他模型的特殊对称性的东西。

1965年芝加哥Graham基金会研究资助的受援人员在恳切地开始研究空间几何，晶体学和形态学。这项调查导致他的书出版，性质中的结构是设计策略，（1978年）。在本文中，除其他创新之外，他提供了由四面体和八面体多孔组成的所有成立，凸起蜂窝的首次描述。

万能节点系统
在他的书中，Peter Jon Pearce将他创建的建模系统称为Universal Node系统。他将该系统设计为一个全面的工具，使植根于7个晶体系统(三斜、单斜、正交、四方、三角、六角形和立方)和14个Bravais晶格(原子可以在晶体中排列的三维构型)的任何周期性结构的物理建模成为可能。通用节点系统本质上是基于立方体和八面体对称的系统。

1966年，不可能注射模具节点与插座，所以通用节点开发了26条辐条，对应于13立方/八面体系统的对称轴。辐条的形状是根据这个系统的对称轴。2重轴，在旋转180后形状看起来相同^O.，有12根矩形辐条。的3倍轴，其中旋转120后重复的形状^O.，有8个三角辐条。在旋转90后重复形状的4倍轴线^O.，有6个方形辐条。三种不同类型的分支匹配它们各自对称轴的辐条。该形状编码确保了通用节点在网络组装期间总是仍然并行。这些辐条和节点的这些结构在建模系统中构建了一个对称性智能，以便用户可能会遇到这些对称原理。

在20世纪70年代早期，皮尔斯把这个系统作为一种建筑玩具制作出来，称为SuperStructures，一套有棍子(辐条)和球(节点)的装置。他的系统使得创建“八面体”结构变得很容易，包括八面体柏拉图体，如立方体和八面体，阿基米德体，如截断的八面体，以及更大的自由结构。

Zometool
皮尔斯的朋友、发明家史蒂夫·贝尔(Steve Baer)对穹顶几何学和多面体很着迷。20世纪60年代初，他在德国接触了MERO的立方体空间框架系统的玩具版本。他想知道是否有一个类似的基于二十面体的系统，这导致了他的31区系统的发现，这表明皮尔斯的立方/八面体系统是五个通过二十面体对称相互关联的系统之一。Baer的合伙人、Drop City的联合创始人Clark Richert又增加了30个区域，并与Pearce的13区系统完成了二十面体的关系。贝尔授权马克·佩尔蒂埃(Marc Pelletier)和保罗·希尔德布兰特(Paul Hildebrandt)为他的“zoometoy”用户友好型设计。在皮尔斯和贝尔的理论和实践经验的启发下，在佩尔蒂埃高超的数学理论的推动下，结果就是“Zometool”。(“Zometool”被量子数学家Micho Durdevich认可为量子数学的物理体现。Micho Durdevich因创造了“量子计算”一词而闻名。)

约翰·h·康威
英国数学家约翰·康威(John Conway)以喜欢玩具而闻名，他是Zometool公司的首批客户之一，为明尼苏达大学(University of Minnesota)的几何中心订购了四套研究工具。意识到Zometool体现无数柏拉图的固体之间的关系,康威创建的所有五个正多面体模型的最小节点数和struts,一个模型,后来称为“开普勒痴迷”或“开普勒Kosmos”(图1)。该模型仍被Zometool出售。康威的模型“解决了”约翰内斯·开普勒的太阳系模型暗示的一个400年前的问题。

开普勒的宇宙之谜
1597年，德国天文学家和数学家开普勒公布的奥秘Cosmographicum（该Cosmographic奥秘），奠定了他与其当时著名的六颗行星的宇宙哲学。开普勒认为，六颗行星的轨道可以适应周围的五个“非常完美”固体：八面体，二十面体，十二面体，四面体和立方体。
开普勒的系统提出土星的轨道是一个立方体。立方体内刻着木星的轨道，同时也限定了一个四面体。四面体上刻着火星的轨道，它也限定了一个十二面体。十二面体上刻着地球的轨道，环绕着二十面体。二十面体上刻着金星的轨道，它限定了八面体。最后，水星的轨道被镌刻在八面体中。这是一个几乎行得通的复杂概念。然而，开普勒没有努力对齐这五个固体(图6)。

康威，以对称性的工作而闻名，创造了五个固体的特定一致性 - 四面体四面体，八面体立方体和八面体，以及IcosaheDral十二锭和Icosahedron - 挑战是固体在三种不同的对称组中。不幸的是，康威既不说也不写任何关于他模型的特殊对称性的东西。

开普勒的宇宙和配位化学
在这项研究的第二次流中，Sun教授和谢德教授采取了康威和开普勒的概念，并将其应用于协调化学。协调化学涉及具有由分子或阴离子阵列（带负电离子）的中央阳离子（带正电荷离子）的化合物，后者称为配体。许多含有金属如银和金中心配位复合物的化合物。几何布置根据与金属中心粘合的配体的数量和类型而变化以及中央原子的配位偏好。

银纳米团簇
研究人员解释了金属簇的家庭，银纳米能源受益于银（I）原子的特殊功能性。这些具有灵活的协调偏好，对还原（获得电子）的敏感性，以及形成与特异性结构特征和各种新物理性质的野生粒细胞（银原子）相互作用的倾向。这些属性丰富了这个家庭的成员和类型的数量。

银多边形可以形成具有表面配体，内阴离子模板和argentophilic相互作用的帮助下，使多面体结构的施工。协调驱动的自组装促进了分子模拟柏拉图，阿基米德甚至德堡多面体的创建。更具挑战性的，但是，是嵌套多面体的组件，无论是在它们的合成的术语和在确定多面体的对准。

在Ag)_90.NanoCluster具有2-和3倍旋转轴的最对称对准。

嵌套的Polyhedra
研究小组进行了合成和x射线晶体学，以确定由90个银原子组成的巢的原子精确分子结构。巢有三个同心的银质多面体，其对称性显然不相容(图2a):最内层是一个有6个顶点的八面体(Ag_6.）坐在一个带24个顶点的截断的八面体（AG_24.)，都是具有八面体对称的多面体(图3)₆₀），20个三角形，30个平方根和12个五角形（图2b）。

开普勒的Kosmos重新出现
而比对的无限数量是可能的，新合成的纳米团簇Ag90具有两相/四和旋转的三折叠轴线（图4a和5）的最对称布置。这也解决了对称群的不兼容似乎。此外，这开普勒窝的排列是一样的约翰。康威设计的开普勒的Kosmos典范！在Zometool的保罗·希尔德布兰德的话来说，“脱帽向太阳，施恩等人，谁拥有桥接八面体和二十面体对称的‘真实世界’。”

在团结这些研究流，研究者还通过表明它最大限度地旋转对称的共享轴的数量解释Conway的模型的先前未记录的优点。显然，这些固体可能已经组装不对齐的轴，就像开普勒自己做了什么。此外，他们证明了其它，较少优化模型可以与旋转更少对齐的轴线（图4b）构成，从而突出Conway的布置的唯一性。