不同对称群中多面体结构的开普勒巢

来自山东大学的Di Sun教授和Stan Schein教授进行的研究由UCLA联合两个研究溪流。首先，它们合成AG₉₀，一个与一个ICOSAHEDRAL和两个八面体壳的KEPLERIAN NEST。在第二，他们意识到嵌套最大化了旋转的共同轴的数量，只是如何将Zometool解释如何最佳地嵌套不同对称组的多面体。事实上，Conway已经解决了Johannes Kepper的太阳系模型所暗示的问题。

对几何学家来说，多面体(复数多面体)是一个具有平面多边形面的三维形状。面在称为边的线段上相交，而边在称为顶点的点上相交。这个词来源于希腊语的' poly '(许多)和印欧语的' hedron '(面)。多面体通常高度对称，具有很大的美学吸引力，在化学、生物、数学等学科中很常见。

山东大学教授Di Sun，加州大学洛杉矶分校加州纳米系统研究所教授Stan Schein和他们的合作者对嵌套多面体特别感兴趣。他们最近的调查结合了两个研究方向。首先，他们合成了一个巢(Ag₉₀）在不同对称组中有三个多面体壳。其次，他们通过由Ledomatician John Conway解决的一个解决了这个问题，该问题使用了Zometool来解决了由Kepler的太阳系模型暗示的类似问题。

背后的故事
这项研究始于彼得·乔恩Pearce，美国产品设计师，作者和发明家。1966年，他花了一年的时间与Buckminster Fuller，着名的发明家和Visionary一起工作，在富勒书的插图上，协同学（1975）。Pearce自己的工作侧重于高性能可持续设计，因为他稍后在他的着名生物圈2，这是一家美国地球系统科学研究设施的设计。

不幸的是，康威既没有说也没有写任何关于他的模型特殊对称性的东西。

作为1965年芝加哥格雷厄姆基金会研究经费的获得者，皮尔斯开始认真研究空间几何、晶体学和形态学。这一调查结果导致了他的书出版，结构在自然是一种设计策略，(1978)。在这篇文章中，除了其他创新之外，他首次描述了所有由四面体和八面体多面体组成的非手性、凸均匀蜂巢。

通用节点系统
在他的书中，Peter Jon Pearce提到了他作为通用节点系统创建的建模系统。他设计了该系统作为一种全面的工具，使得能够在7个晶体系统（三角形，单岩，正交，四方，三角形，六边形，立方）和14个Bravais格子（三维配置）中生根的任何周期性结构的物理建模。可以在晶体中布置其中的原子）。通用节点系统基本上基于立方和八面体对称的系统。

1966年，不可能用插座注塑节点，因此通用节点是用26个辐条开发的，该辐条对应于立方/八面体系统的13个对称轴。根据该系统的对称轴形成形。2折轴，其中形状在旋转180后形状相同^o它有12条矩形辐条。三重轴，其中一个形状是重复旋转120^o他有8条三角辐条。四重轴，其中一个形状在旋转90后重复^o他有6条方形辐条。三种不同类型的树枝与它们各自对称轴的辐条相匹配。这种形状编码确保了在网络组装期间，通用节点始终保持平行。这些辐条和节点的结构在建模系统中构建了对称智能，这样用户就可以体验到这些对称原则。

在20世纪70年代初期，Pearce生产了该系统作为一个被称为超大建筑的建筑玩具，一套与棍棒（辐条）和球（节点）。他的系统使其易于创建“八面体”结构，包括八面体柏拉图固体，如立方体和八面体的固体，以及阿基米德固体，如截断的Octahedra，以及较大的自由式结构。

Zometool
Pearce的一位朋友是Inventor Steve Baer，对圆顶几何和多面体着迷。他于20世纪60年代初在德国介绍了Mero Cube的空间框架系统的玩具版本。他想知道基于ICOSAHEDRON的潜在潜在的ICOSAHEDRON的系统，导致他发现31区系统的发现，它显示了PELCE的立方/八面体系统是ICOSAHEDRAL对称性彼此相关的五个。Baer的助理和滴城Cofounder Clark Richert添加了另外30个地区并完成了与Pearce的13区系统的ICOSAHEDRAL关系。Baer许可Marc Pelletier和Paul Hildebrandt为他的“Zometoy”的用户友好版本开发了他们的设计。Pearce和Baer的理论和实践经验的结果，并通过Pelletier的最高级数学增强，是Zometool。（Zometool被Quantum Mathematician Micho Durdevich识别 - 已知用于根据量子数学的术语“量子计算” - 作为物理实施例。

John H. Conway.
英国数学家John Conway以他对玩具的热爱而闻名，是Zometool，Inc。的第一个客户之一，为明尼苏达大学的几何中心订购了四名研究员套件。Realising that the Zometool embodied countless relationships among the Platonic Solids, Conway created a model of all five of the Platonic solids with the smallest number of nodes and struts, a model that later became known as ‘Kepler’s Obsession’ or ‘Kepler’s Kosmos’ (Figure 1). This model is still being sold by Zometool. Conway’s model ‘solved’ a four-hundred-year-old problem implied by Johannes Kepler’s model of the solar system.

开普勒的宇宙的谜团
1597年，德国天文学家和数学家约翰内斯·开普勒发表了《宇宙奥秘》，阐述了他的宇宙哲学，即当时已知的六颗行星。开普勒认为，这六颗行星的轨道可以适合五个“完美”的固体:八面体、二十面体、十二面体、四面体和立方体。
开普勒的系统提出了土星轨道围绕立方体。在立方体中铭刻是木星的轨道，这也限制了四面体。在四面体中铭刻是火星的轨道，也围绕着十二章德国。铭刻在十二章中，是地球的轨道，绕过ICOSAHEDRON。刻在icosahedron中是金星的轨道，围绕八面体围绕着八面体。最后，汞的轨道刻在八面体中。这是一个几乎工作的复杂概念。然而，开普勒不努力对准五个固体（图6）。

康威以他的对称工作而闻名，他创造了五种立体的特殊排列——四面体四面体，八面体立方体和八面体，二十面体十二面体和二十面体——挑战在于，这些立体是在三个不同的对称群中。不幸的是，康威既没有说也没有写任何关于他的模型特殊对称性的东西。

开普勒的科斯莫斯和协调化学
在这项研究的第二轮中，孙教授和沙因教授采用了Conway和Kepler的概念，并将它们应用到配位化学中。配位化学是指化合物的中心阳离子(带正电荷的离子)由一系列分子或阴离子(带负电荷的离子)配位，后者称为配体。许多含金属的化合物如银和金中心配位配合物。与金属中心结合的配体的数量和类型以及中心原子的配位偏好不同，其几何排列也不同。

银纳米束
研究人员解释了在金属团簇家族中，银纳米团簇如何受益于银(I)原子的特殊多功能性。它们具有灵活的配位偏好、对还原(获得电子)的敏感性和形成嗜银(银原子对银原子)相互作用的倾向，具有特定的结构特征和各种新颖的物理性质。这些属性丰富了家族成员的数量和类型。

在表面配体、内部阴离子模板和嗜银作用的帮助下，可以形成银多面体结构。协调驱动的自组装促进了模仿柏拉图式、阿基米德式甚至是戈德堡式多面体的分子的创造。然而，更有挑战性的是嵌套多面体的组装，无论是在它们的合成方面，还是在确定多面体的排列方面。

AG₉₀纳米团簇具有最对称的2倍和3倍旋转轴排列。

嵌套的多面体
研究团队进行了合成和X射线晶体学，以确定具有90个银原子的巢的原子精确分子结构。巢有三个同心银色多面体，具有明显不相容的对称性（图2a）：最内壳是八面体的6个顶点（Ag₆位于一个截断的具有24个顶点的八面体(Ag₂₄），八面体对称的两种多面体（图3）。后者坐在菱形多角面壳内，一个icosaheDral多面体壳，60顶点（Ag_60.)、20个三角形、30个正方形和12个五边形(图2b)。

开普勒Kosmos重新出现
虽然排列可能是无限的，但新合成的Ag90纳米团簇具有最对称的2 / 4和3重旋转轴排列(图4a和5)。它也解决了对称基团表面上的不兼容性。此外，开普勒星系巢的排列方式与约翰·康威设计的开普勒宇宙模型相同!用Zometool的Paul Hildebrandt的话来说，“向Sun、Schein等人致敬，他们在‘现实世界’连接了八面体和二十面体对称。”

在联合这些研究流的过程中，研究人员还解释了康威模型之前未被记录的优点，即它最大限度地增加了共享旋转对称轴的数量。很明显，这些实体可以在不对齐坐标轴的情况下组装，就像开普勒自己做的那样。此外，他们还证明了其他更不理想的模型可以用更少对齐的旋转轴来构建(图4b)，从而突出了Conway安排的唯一性。