Superellipses Superformula:吉利斯转型的影响

由安特卫普大学客座教授Johan Gielis博士设计的用于描述植物形状的超级公式已经在数学、科学和技术的许多领域得到了应用。Gielis博士的单一方程，提供了抽象的、自然的和人造的形状的统一描述，从三角形到螺旋形，现在已经在5万多个样本上进行了测试，他的原始研究论文被引用了很多次，以至于作者创建了一个数据库，以激励和支持跨科学学科的进一步应用。

25年前，Johan Gielis博士提议使用拉梅曲线（也称为超椭圆）来模拟方形竹子的横截面。一年后，他推广了这个方程式。2003年，他应邀向大会提交了一份特别文件美国植物学杂志；“将各种自然和抽象形状统一起来的通用几何变换”现在占据了有史以来被引用最多的科学论文的前2%。

虽然超级公式的起源是描述植物形状，但它是一个基本方程，可以应用于许多领域。在过去的二十年里，数学、物理、生物、技术和教育等领域发表了大量的论文、书籍、论文和专利。

它已经在科学界产生了广泛的影响和影响，在2020年，Gielis博士的目标是通过创建一个数据库和对众多参考文献和应用的概述来最大限度地发挥这种影响。

Lamé曲线到超级公式
1818年，法国数学家加布里埃尔Lamé推广了椭圆方程，创造了“超椭圆”——两条轴对称的闭合曲线——后来被称为Lamé曲线。Lamé也是第一个考虑使用这种曲线来描述晶体的人，为它们在自然科学中应用铺平了道路。

这个方程是圆和毕达哥拉斯定理的推广，它统一了广泛的自然形状和抽象形状。

Gielis博士有植物学背景，他首先基于方形竹子的横截面模型，将Lamé曲线与自然形状联系起来，四棱竹．不过，他很快就发现了使用超椭圆的一个主要缺点，因为它们仅限于四重对称:也就是说，它们可以描述圆形、正方形和矩形，但不能描述三角形或五边形。在Lamé将超椭圆应用于晶体180多年后，吉里斯博士对Lamé的方程进行了合乎逻辑的扩展，并将其推广到任何对称的情况下，创造了一个“超级公式”。这个等式，圆和勾股定理的推广，统一了自然和抽象形状的广泛范围。尽管Gielis博士的超级公式是为描述植物形状而开发的，但它是一个基本方程，在数学、物理、生物、技术和教育领域有很多应用。它们从非常小的(纳米技术和量子)到非常大的(星系和时空本身)，特别是包括狭义相对论的洛伦兹-菲茨杰拉德变换。

结果，自2003年发表以来，吉利斯博士的论文美国植物学杂志论文被引用超过500次。最初命名为超级公式，以保持超圆和超椭圆的主题，数学家们将其更名为“吉里斯变换”。这使得“Gielis”成为子流形几何(或广义)内在和外在长度的首字母缩写。

从类比到科学方法论
吉里斯博士解释说，他最初将Lamé曲线与自然形状联系起来是一种视觉类比或假设。研究人员现在已经在包括树木年轮、树叶、种子、海星、竹子的根和笋在内的5万多个生物标本上验证了这一假设。他们的发现发表在20多篇论文中，轻松地验证了这个公式，也证实了存在一个计算不同形状叶子面积的通用公式。在2020年的一项重大发展中，扫描了1400多节方竹;所有的内部和外部形状都符合超级公式。

虽然它们经常伪装，但圆和直线构成了科学的基础;我们发现它们存在于力量、距离、电、光、声、无线和统计学中，是主要科学理论的基础。然而，对50000个标本的测试使吉里斯博士观察到，在植物学和生物学中，即使有，也很少有自然出现的圆圈或椭圆。相反，超圆、超椭圆和超形状随处可见。这些科学结果表明，圆形和螺旋形是自然界的例外，而不是规律。

这项测试还表明，超级公式的几个参数足以准确描述形状和大小，可能会使具有许多变量的繁琐复杂模型破产。事实上，只需要两到四个参数就可以准确描述许多自然形状和所有分析样本的主要功能特征。从最初的类比，吉斯曲线和变换现在提供了一个完整的科学方法来描述自然形状。

行动中的科学
该超级配方目前已在全世界广为人知，并已在欧洲、美洲、亚洲和非洲的国家被引用。它最初被数学领域所接受，在微分几何、变分微积分、边值问题和极小曲面领域中得到应用，并从那时起越来越多地应用于各种学科。其中之一就是计算机辅助设计（CAD）。

以前研究人员只能接触到一些基本形状(从CAD软件的下拉菜单中选择)，而超级公式为新的方法打开了大门。天线形状和纳米结构就是这样的例子，新的设计可以基于单一的形状家族，而不是使用不同的形状，这些形状可以永久地相互转换。

一系列的应用已经商业化，2003年的论文在专利中被引用超过60次。这些产品包括计算机图形软件产品。使用Superformula意味着可以使用类似程序的一小部分代码和处理能力来创建复杂的图形设计，从而提高文件大小和处理速度的效率，例如用于游戏的程序建模www.changingthe.game．

心理学和认知科学论文的引用表明，超公式在这些不太明显的领域的应用，显示了它如何基于相似性而不是差异改变我们对形状的感知。

超级公式也在数学教育中得到推广。它出现在许多流行的书籍中，也被用于学校的软件包，包括Geogebra和Sketchpad。它出现在世界各地的高等教育课程中，以及Mathematica、Matlab和Maple等软件应用程序中。它也为游戏开发者和音效工程师提供数学背景课程。

生物学从物理学中采用的基于圆和直线的方法太复杂了。

跨越鸿沟
最初的Superformula论文被高度引用，参考文献来自多个方向：从量子到天文学，从机械设计到纳米光学，从纯数学到百思买的算法。看到这种多样性的应用，Gielis博士在他儿子的帮助下，利用文献计量数据和引文索引编制了一个数据库，其中包括引用他2003年论文的500多篇科学文章。他的动机是弥合“巨大鸿沟”——即新发现的趋势刺激在多个方向的广泛应用或在发现领域的深入研究。Gielis博士打算将该数据库作为一种工具，使研究人员能够跨越其他领域，更好地了解自己的领域。

为了实现这一点，数据库将公式的使用分为数学、科学和技术，科学进一步细分为生物学、心理学和物理学，技术分为六个领域：天线、电子学和超材料；纳米技术；应用物理学；机械和机电；计算机制图和建模；以及计算机视觉和数据挖掘。他在2021年发表的论文《吉斯变换及其对科学技术的影响》对这些子学科进行了详细概述，以证明超公式的多种应用方式。

25年前，Gielis博士意识到，生物学从物理学中采用的基于圆和直线的方法过于复杂。与传统的用无穷级数描述形状的复杂方法不同，他的紧凑的超级公式在新旧之间架起了桥梁，并在此过程中为跨多个科学领域的发现和理解创造了新的途径。

2003年5月，原稿发表后，美国数学学会媒体中的数学本节回顾了对吉里斯工作的众多回应中的一些。他们得出结论，开普勒是“植物学的开普勒，等待着他的牛顿”——开普勒用椭圆找到了行星运动的统一描述，这是四分之三世纪后牛顿发展运动定律的灵感。

这种比较暗示了《吉里斯变换》的出版所带来的高期望。吉里斯自己评论说，二十年过去了，他还没有找到他的牛顿:但科学革命需要时间。