非线性动力学的整数分形

分形维数是作为复杂、不规则物体的定量度量而发展起来的，主要是因为人们已经接受了分形不能用整数维数来表征的观点。开越大学经济学教授贺宗禄博士用她的新发现挑战了这个基本概念，她发现分形实际上可以出现在整数维时空中。她的研究证明了分数维度和拓扑维度的一致性。此外，她还发现了分形行为的控制机制，并探索了非线性动力学的影响。

分形永远不会结束模式。它们可以是曲线或几何图形，但每个部分似乎与整个图案相同，属性称为自相相似性。它们是由过程或功能的迭代重复而创建的。分形是由递归驱动的动态系统的图像 - 混沌的图像。分形图案可以在本质上找到，例如雪花，贝壳，花卉，树木，海岸线和星系。通过计算一遍且过来的等式可以产生抽象分形。分形可用于在逐渐较小的尺度逐渐较小的尺度上重复地重复的结构。它们还可用于描述随机或混沌现象，例如晶体生长和流体湍流。分形也有经济学的应用，如建模市场价格波动或市场风险。

分形维数
几何形状有尺寸。例如，点的维数为0，线的维数为1，面积的维数为2，体积的维数为3，从这些我们可以推导出诸如锥和球之类的形状。同样，分形也有维度。这为分形的复杂程度提供了一种衡量标准。然而，分形指数可以有非整数值，例如，分形维数为1.1的曲线表现为一维线，而分形维数为1.9的曲线在空间中扭曲，几乎就像一个二维曲面。

分形维数是作为复杂、不规则物体的定量度量而发展起来的，主要是因为人们普遍认为，分形不能用整数维数来表征。开越大学经济学教授贺宗禄博士用她的新发现挑战了这个基本概念，她发现分形实际上可以出现在整数维时空中。

研究背景
在20世纪90年代后期，他最初对统计数据，特别是随机（随机）流程和时间序列分析感兴趣。At that time, a major discovery was that economic large variations could result from the cumulative effects of noise (such as money demand-supply shocks – sudden temporary increases or decreases in demand and supply) caused by the so-called ‘unit root’ structure. (A unit root is a randomly determined trend in a time series; its occurrence shows an unpredictable systematic pattern.) This finding challenged traditional thinking of stationary fluctuations about a deterministic trend where money demand-supply shocks were assumed to have no long-term impact on the economy. A structural break (an unexpected change in the economy prompted by a sudden event such as a war or a change in government policy) and long-range dependence (also known as long memory, a feature of statistical time series involving persistently strong autocorrelation between remote observations) were also recognised as displaying unit root behaviour. It was difficult to say whether either one of these data features actually results in economic fluctuations. While a plethora of analytical literature exists regarding the testing of the data features, little attention has been paid to their causes.

非线性自回归综合（NLARI）模型
何教授指出，非整数分形维数并不能解释是什么造成了分形行为和控制了分形水平。她认为，解决这些问题的办法是根据物理定律为在不同情况下产生数据的过程建立模型。如果不是，模型参数将不会有明确的物理效应。她接着强调，为了系统地理解现实世界中时间序列过程的基本机制，需要一个跨学科统一的时间序列模型。这使得何教授发明了非线性自回归集成(NLARI)模型。

利用NLARI框架，何教授能够解释单位根和趋势突破的性质和原因。

他解释说，她创建了NLARI模型，“探索整数尺寸空间的数据生成过程是否可以随时间表现出分形行为，特别是在非线性随机和确定性动态的参数范围内。她通过将牛顿的第二律（Force = Mass X加速）应用于随机自恢复系统来派生NLARI模型，以实现经济变量的统一数据生成过程。

研究发现
利用NLARI框架，何教授能够解释单位根和趋势突破的性质和原因。该模型的进一步发展使何教授能够通过获得NLARI确定性系统的解析解来澄清NLARI的非线性动力学，并发展了NLARI参数估计和假设检验的统计方法。利用这些，她能够研究整数维分形行为及其控制机制，分形和动态行为之间的关系，以及随机扰动对分形的影响。

与拓扑维度的一致性
研究表明，分形维数与拓扑维数一致是可能的。贺教授发现了稳定不动点、周期和非周期振荡、混沌等典型非线性动力学特性，以及包括长期依赖、自相似性等典型分形行为的特性，幂律与整数维时空中数据生成过程的性质相同。(幂律是两个量之间的函数关系，独立于两个量的初始大小，一个量随另一个量的幂变化。)

何教授发现，长期依赖和幂律自相似性是由外部环境影响和内部组织影响的比较强度决定的。如果观测尺度足够大，或者数据的频率足够低，就有可能观测到典型的分形。利用NLARI模型进一步研究发现，随机(随机)稳定不动点同时具有自相似性和长期记忆特性，而确定性(非随机)稳定不动点通常只具有自相似性。随机周期、确定性周期和混沌周期只显示长期记忆。当恢复延迟为偶数时，恢复延迟的长度也有显著的自相似性。当恢复延迟为奇数时，不发生自相似性。

非整数分形维数并不能解释是什么创造了分形行为和控制分形水平。

非线性动力学的影响
Plotting the data generated by NLARI revealed that the fractal level of a stable fixed point is controlled by the wave indicators reflecting the relative strength of external and internal forces: a larger gradient disclosed a higher positive dependence i.e. long memory, whereas a smaller amplitude indicator disclosed a higher level of self-similarity. Additionally, a larger amplitude indicator or an even restorative delay could make the sample autocorrelation function oscillate. Professor He observed that the fractal levels of period cycles and chaos relied on the intrinsic resistance, restoration, and regulative delays. Once the internal structure becomes so robust that the system can generate periodic cycles or chaos, however, the extrinsic disturbances can be ignored.

结论
与分形维数的基本概念相反，贺建奎教授的突破性发现挑战了传统思维，表明自我调节系统的分形实际上可以用整数维数来衡量。

教授他还表明其他类似的分形和动态发生在不同的学科中，并且这些也可以通过将牛顿的第二法应用于自我调节系统来揭示的Nlari进程来表征。他的研究教授表明，在造型降雨，河流流动，臭氧厚度，脑波和神经冲动等领域中，动态模型的相似性的普遍性可能表明牛顿的第二律在现实世界中的现象基础。